Rummus - Rumus Peluang
Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8Y3mxWo7I/AAAAAAAAAOk/XZonfBbZTG8/s320/V28.png)
Permutasi k unsur dari n unsur
adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis
atau
.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8Y3mxWo7I/AAAAAAAAAOk/XZonfBbZTG8/s320/V28.png)
Permutasi k unsur dari n unsur
![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8ZTCXTKpI/AAAAAAAAAOs/XU41nRM04DA/s320/V29.png)
![](https://i2.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8ZyTxnMLI/AAAAAAAAAO0/XoRB-QpE2Cw/s320/V30.png)
![](https://i2.wp.com/4.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8aPvzcGLI/AAAAAAAAAO8/zEkSOtuFXNU/s320/V31.png)
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri š
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , ![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8cCswx7bI/AAAAAAAAAPM/PJ7XJvRXsLI/s320/V34.png)
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8ZTCXTKpI/AAAAAAAAAOs/XU41nRM04DA/s320/V29.png)
![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8cCswx7bI/AAAAAAAAAPM/PJ7XJvRXsLI/s320/V34.png)
Contoh :
Diketahui himpunan
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8dWxOFaYI/AAAAAAAAAPc/idGuSBKYNlA/s320/V36.png)
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Diketahui himpunan
![](https://i0.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8c0Oz1SvI/AAAAAAAAAPU/N5L6wLqzAoI/s320/V35.png)
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/Sc8dWxOFaYI/AAAAAAAAAPc/idGuSBKYNlA/s320/V36.png)
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
dengan penulisan nCk, hitung 10C4kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri šOhya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :![](https://i1.wp.com/4.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBbssb7KII/AAAAAAAAAQM/gTqojIc7lyM/s320/V38.png)
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
![](https://i1.wp.com/4.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBbssb7KII/AAAAAAAAAQM/gTqojIc7lyM/s320/V38.png)
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBkcU-iJFI/AAAAAAAAAQc/7ALwjG6Biuw/s320/V40.png)
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
![](https://i1.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBkcU-iJFI/AAAAAAAAAQc/7ALwjG6Biuw/s320/V40.png)
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
![](https://i0.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBn7YNuuZI/AAAAAAAAAQ0/J7_4IHjRlxU/s320/V43.png)
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
![](https://i0.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBn7YNuuZI/AAAAAAAAAQ0/J7_4IHjRlxU/s320/V43.png)
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika
. Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
Untuk setiap kejadian berlaku
![](https://i0.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBq0qmKHJI/AAAAAAAAARc/G9goZpSOReE/s320/V48.png)
![](https://i2.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBrfZNpT_I/AAAAAAAAARk/ORHviIGCvQM/s320/V49.png)
![](https://i2.wp.com/4.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBr8KdlrYI/AAAAAAAAARs/9eTOKZEcX_4/s320/V50.png)
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
![](https://i2.wp.com/4.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBpm4XWayI/AAAAAAAAARM/kxocz44Ob3w/s320/V46.png)
![](https://i2.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBtHWwpNCI/AAAAAAAAAR0/0KJHfYL8wvI/s320/V52.png)
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :![](https://i2.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBt42yQzxI/AAAAAAAAAR8/ZDmjurr9y8A/s320/V53.png)
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
![](https://i2.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBt42yQzxI/AAAAAAAAAR8/ZDmjurr9y8A/s320/V53.png)
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBuyyfP91I/AAAAAAAAASE/OvG5aP4wcuc/s320/V54.png)
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
![](https://i0.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBuyyfP91I/AAAAAAAAASE/OvG5aP4wcuc/s320/V54.png)
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap
maka:
![](https://i2.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB7K68MXmI/AAAAAAAAASc/-qmFJj1odqw/s320/V57.png)
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
![](https://i2.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdBxJpuEo9I/AAAAAAAAASM/5TiRKwavYjc/s320/V55.png)
![](https://i1.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB6l_3dpeI/AAAAAAAAASU/yQzshrNmUns/s320/V56.png)
![](https://i2.wp.com/2.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB7K68MXmI/AAAAAAAAASc/-qmFJj1odqw/s320/V57.png)
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
![](https://i1.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB7odp5_lI/AAAAAAAAASk/xzPTXOURXiw/s320/V58.png)
![](https://i1.wp.com/1.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB7odp5_lI/AAAAAAAAASk/xzPTXOURXiw/s320/V58.png)
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
![](https://i0.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB8LbtTKLI/AAAAAAAAASs/rmw9RfUAMDE/s320/V59.png)
Dengan P sebagai parameter dan
![](https://i0.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB8cd93yDI/AAAAAAAAAS0/CdTdsExAcXI/s320/V60.png)
Rumus ini dinyatakan sebagai:
![](https://i1.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB9bEd8NWI/AAAAAAAAAS8/nZAm6F2FknU/s320/V61.png)
Dengan P sebagai parameter dan
![](https://i0.wp.com/3.bp.blogspot.com/_lqrkJBKPjWs/SdB8cd93yDI/AAAAAAAAAS0/CdTdsExAcXI/s320/V60.png)
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
Komentar
Posting Komentar