Rumus - Rumus Barisan dan Deret Aritmatika dan Geometri
Perbedaan Barisan dan Deret (Aritmatika dan Geometri)
Barisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh barisan :
- 1, 2, 3, 4, 5
- 2, 5, 8, 11, 14
Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.
Contoh deret :
- 1 + 2 + 3 + 4
- 2 + 5 + 8 + 11
Format Barisan
![format barisan](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/format-barisan.png?w=474)
Format Deret
![format deret](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/format-deret.png?w=474)
Rumus Deret Aritmatika
![Rumus Deret Aritmatika](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/barisan-dan-deret.jpg?w=300&h=298)
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah…
- 16
- 17
- 18 D. 19
- 20
Pembahasan
Pada dasarnya, untuk mengerjakan soal seperti ini yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai suku pertama (a) dan beda barisan (b). Akan tetapi, pada sebagian soal kita tidak dapat menentukan nilai a dan b sehingga yang harus kita lakukan adalah melihat hubungan antara persamaan yang ditanya dengan persamaan yang diketahui. Dari soal diperoleh persamaan :
U2 + U5 + U20 = 54
⇒ (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54
⇒ 3a + 24b = 54
⇒ a + 8b = 18
Rumus untuk menghitung suku ke-9 adalah sebagai berikut :
U9 = a + 8b
⇒ U9 = a + 8b = 18 (opsi C)
Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan …
- 13
- 16
- 20 D. 24
- 28
Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
U3 + U7 = 56
⇒ (a + 2b) + (a + 6b) = 56
⇒ 2a + 8b = 56
⇒ a + 4b = 28.
U6 + U10 = 86
⇒ (a + 5b) + (a + 9b) = 86
⇒ 2a + 14b = 86
⇒ a + 7b = 43.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 4b = 28 → a = 28 – 4b → substitusi ke persamaan (2).
⇒ a + 7b = 43
⇒ 28 – 4b + 7b = 43
⇒ 28 + 3b = 43
⇒ 3b = 15
⇒ b = 5
Karena b = 5, maka a = 28 – 4(5) = 28 – 20 = 8.
Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut adalah :
U2 = a + b
⇒ U2 = 8 + 5
⇒ U2 = 13 (Opsi A)
Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah …
- 30
- 28
- 22 D. 18
- 14
Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U2 + U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6.
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 2b = 6 → a = 6 – 2b → substitusi ke persamaan (2).
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2)
⇒ U7 = 14 (Opsi E)
Diketahui barisan aritmatika dengan U1 + U10 + U19 = 96. Suku ke-10 barisan tersebut sama dengan …
- 22
- 27
- 32 D. 37
- 42
Pembahasan
Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
U1 + U10 + U19 = 96
⇒ a + a + 9b + a + 18b = 96
⇒ 3a + 27b = 96
⇒ a + 9b = 32
Suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah :
U10 = a + 9b
⇒ U10 = a + 9b = 32 (Opsi C)
Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah …
- 10
- 19
- 28,5 D. 55
- 82,5
Pembahasan
Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
U2 + U15 + U40 = 165
⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165
⇒ 3a + 54b = 165
⇒ a + 18b = 55
Suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah :
U19 = a + 18b
⇒ U19 = 55 (opsi D).
Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: an = a1rn – 1, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,
![rumus deret geometri](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/rumus-deret-geometri.jpg?w=201&h=300)
Soal No. 1 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = arn −1
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = arn −1
dimana
a = suku pertama
r = rasio
a = suku pertama
r = rasio
Dari soal
a = 3
r = 6/3 = 2
a = 3
r = 6/3 = 2
sehingga
Un = arn−1
U5 = 3 (2)5 −1 = 3 (2)4 = 3(16) = 48
Un = arn−1
U5 = 3 (2)5 −1 = 3 (2)4 = 3(16) = 48
Soal No. 2 dan Pembahasan
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!
Pembahasan
Data dari soal di atas
U5 = 324
a = 4
Data dari soal di atas
U5 = 324
a = 4
Dari Un = arn −1
![contoh soal 2 deret geometri](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/soal-2-geometri.jpg?w=474)
Soal No. 3 dan Pembahasan
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….
Tentukan U3 + U5
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….
Tentukan U3 + U5
Pembahasan
U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2
U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2
Un = arn −1
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4
Sehingga
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4
Soal No. 4
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 3
r = 6/3 = 2
S7 =….
Data:
a = 3
r = 6/3 = 2
S7 =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1
![soal dan pembahasan 4 deret geometri](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/soal-4-geometri.jpg?w=300&h=149)
Soal No. 5 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +…
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +…
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 24
r = 12/24 = 1/2
S7 =….
Data:
a = 24
r = 12/24 = 1/2
S7 =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1
![soal dan pembahasan 5 deret geometri](https://jogjamatematika.files.wordpress.com/2015/09/soal-5-geometri.jpg?w=268&h=300)
Komentar
Posting Komentar